3 manières de calculer des factorielles - wikiHow (2024)

Coécrit parl'équipe de wikiHow

Références

Télécharger l'article

1. 1

   Sachez comment se note une factorielle. Une factorielle s’écrit sous la forme d’un nombre simplement suivi d’un point d’exclamation.

   • Ainsi, la factorielle se dit «factorielle de 5» ou «factorielle 5».

   See Also

   Factorielles : Cours et exercices - Progresser-en-maths
2. 2

   Inscrivez la séquence de calcul sous-jacente à la factorielle. Il s’agit du produit de tous les nombres, en commençant par celui de la factorielle, inférieurs à ce nombre jusqu’à 1^[2]. De façon théorique, la formule s’écrit comme suit: , étant obligatoirement un entier positif^[3].

   • Dans notre exemple, la décomposition est la suivante: . Simplification faite, l’expression est la suivante: .
3. 3

   Faites le produit. Avec une calculatrice scientifique, c’est simple, puisque vous tapez la factorielle et vous appuyez sur la touche . Pour un calcul de tête, essayez de combiner les valeurs pour parfois obtenir 10 ou 100, ce qui facilite les calculs^[4]. Quant au 1 final, vous pouvez le négliger, 1 étant neutre pour le produit (il n’en change pas le résultat).

   • En calculant , laissez d’ores et déjà tomber la multiplication par le 1 final et faites . Il ne vous reste plus qu’à multiplier . Comme , vous pouvez écrire que:
     .

   Publicité

Télécharger l'article

1. 1

   Observez bien l’expression que vous devez simplifier. Le plus souvent, il s’agit d’une expression ayant des factorielles en numérateur et en dénominateur.

   • Prenons un exemple concret, simplifions .
2. 2

   Décomposez chaque factorielle. Le but de l’opération est de faire apparaitre des facteurs qui vont s’annuler de part et d’autre du trait de fraction^[5]. Au début, vous écrirez tous les facteurs, plus tard, vous irez plus vite en annulant directement telle ou telle factorielle^[6].

   • Reprenons notre exemple: . Cette fraction peut être présentée ainsi:
     .
3. 3

   Supprimez tous les facteurs communs. Ils doivent être à la fois en numérateur et en dénominateur^[7]. Il vous restera alors une fraction irréductible dont vous calculerez les termes.

   • À l’évidence est facteur de , vous pouvez donc supprimer ce qui correspond à en numérateur (il reste ) et en dénominateur:
     .
4. 4

   Faites les calculs. Cela fait, voyez s’il n’y a pas de simplifications possibles. Le résultat doit toujours être donné sous forme de fraction irréductible.

   • Reprenons l’exemple:
     
     
     .
     Ainsi, devient .

   Publicité

Télécharger l'article

1. 1

   Trouvez la valeur de 8!.

   • Sur une calculatrice scientifique, tapez sur la touche , puis sur la touche . Le résultat s’affiche.
   • Pour une résolution à la main, écrivez la décomposition de la factorielle:
     .
   • Supprimez le dernier terme (égal à 1):
     .
   • Mettez en tête de produit:
     
     .
   • Groupez les autres facteurs par paires pour accélérer les opérations, puis multipliez tous les résultats intermédiaires:
     
     
     
     .
     Pour résumer, .
2. 2

   Simplifiez l’expression: .

   • Décomposez toutes les factorielles:
     .
   • Supprimez terme à terme tout ce qui est commun au numérateur et au dénominateur:
     
     .
   • Faites les calculs:
     
     
     .
     Ainsi la fraction peut s’écrire sous la forme .
3. 3

   Résolvez un problème concret. Supposons que vous vouliez repeindre un mur sur lequel il y aura, une fois terminé, 6 bandes de 6 couleurs différentes. Question: Quelles sont les différentes combinaisons possibles?

   • La réponse à ce problème est , nous ne le démontrerons pas ici, mais intuitivement vous pouvez comprendre comment cette solution apparait.
   • Pour la première bande, vous avez le choix entre 6 couleurs. Pour la suivante, vous n’avez que 5 choix possibles, etc. C’est comme cela que les choix sont:
     . Ce produit est .
   • Sur une calculatrice scientifique, tapez , puis appuyez tout simplement sur la touche .
   • Pour une résolution sur le papier, écrivez le produit:
     .
   • Négligez le 1 final:
     .
   • Groupez en tête de produit :
     
     .
   • Groupez les autres facteurs par paires pour accélérer les opérations, puis multipliez tous les résultats intermédiaires:
     
     
     
     .
     Il y a 720 combinaisons possibles de bandes de 6 couleurs différentes.
4. 4

   Résolvez un autre problème concret. Il est assez proche du précédent dans la mesure où vous avez toujours un mur et 6 couleurs à disposition. La différence tient au fait que vous n’allez faire que trois bandes de trois couleurs différentes. Question: Quelles sont les différentes combinaisons possibles?

   • De façon simple, vous pouvez dire que vous avez 6 choix pour la première bande, 5 pour la suivante et 4 pour la dernière, c’est-à-dire la première partie de factorielle 6. Cependant, sachez qu’il existe, pour ce genre de calcul combinatoire, une formule toute prête: , étant le nombre d’éléments à disposition au départ et le nombre d’éléments réellement choisis parmi les n éléments. Cette formule n’est utilisable qu’aux conditions expresses qu’il n’y ait pas de répétitions (dans notre exemple, une même couleur qui serait choisie deux fois) et qu’il y ait une séquence ordonnée de choix possibles^[8].
   • Ainsi, dans notre exemple de trois bandes de trois couleurs différentes prises parmi 6 possibles, le nombre de combinaisons possibles s’établit comme suit:
     .
   • Faites la seule soustraction en dénominateur:
     
     .
   • Décomposez chacune des deux factorielles:
     .
   • Supprimez tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur:
     .
   • Faites les calculs restants: .
     Avec 6 couleurs disponibles, vous avec 120 combinaisons possibles pour faire 3 bandes de couleur sur votre mur.

   Publicité

Conseils