Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Table of Contents
Überblick[Bearbeiten] Symmetrieverhalten[Bearbeiten] Sinus[Bearbeiten] Kosinus[Bearbeiten] Additionstheoreme[Bearbeiten] Trigonometrischer Pythagoras[Bearbeiten] Stetigkeit[Bearbeiten] Definition von [Bearbeiten] Qualitatives Verhalten der Kosinusfunktion[Bearbeiten] Verhalten auf [Bearbeiten] Fortsetzung auf [Bearbeiten] Fortsetzung auf [Bearbeiten] Fortsetzung auf [Bearbeiten] Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten] Periodizität[Bearbeiten] Qualitatives Verhalten der Sinusfunktion[Bearbeiten] Funktionswert bei [Bearbeiten] Zusammenhang zur Kosinusfunktion[Bearbeiten] Verhalten auf [Bearbeiten] Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten] Ableitung und Integral[Bearbeiten] Ableitung Sinus[Bearbeiten] Ableitung Kosinus[Bearbeiten]
  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • Konvergenzkriterien für ReihenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • PotenzreihenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
      • Sinus und KosinusEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
      • Eigenschaften des Sinus und KosinusEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • Arkussinus und ArkuskosinusEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • Tangens und KotangensEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • Arkustangens und ArkuskotangensEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
      • Sinus Hyperbolicus und Kosinus HyperbolicusEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
      • AufgabenEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
    • StetigkeitEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
    • AbleitungEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)
    • IntegraleEigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Überblick[Bearbeiten]

Symmetrieverhalten[Bearbeiten]

Sinus[Bearbeiten]

Satz(Antisymmetrie des Sinus)

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29) gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30).

Beweis(Antisymmetrie des Sinus)

Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31). Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32)

Kosinus[Bearbeiten]

Satz(Symmetrie des Kosinus)

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33) gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34).

Beweis(Symmetrie des Kosinus)

Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35). Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36)

Additionstheoreme[Bearbeiten]

Im Folgenden untersuchen wir die Additionstheoreme. Diese befassen sich mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37) beziehungsweise Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38) für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39). Veranschaulichen können wir uns diesen Satz, indem wir Sinus und Kosinus am Einheitskreis betrachten.

To-Do:

  • Einführung schreiben
  • Veranschaulichen durch Drehungen in der Ebene durch Drehmatrizen
  • mit Bild

Satz(Additionstheoreme)

Für reelle Zahlen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42) gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43)

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44)

Wie kommt man auf den Beweis?(Additionstheoreme)

Aus der Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45) gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46).Dadurch können wir dann auch Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) in Abhängigkeit von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) darstellen. Nämlich als Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50) und als Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51). Also können wir so auch Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54) betrachten.

Außerdem kann es nützlich sein, Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) sowie Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) für komplexe Zahlen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57) zu betrachten.

Beweis(Additionstheoreme)

Zuerst betrachten wir zwei komplexe Zahlen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58). Dann gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59)

Somit folgt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61)

Außerdem wissen wir, für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63). Folglich gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64), sowie Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65)

Seien nun Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67), dann gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68)

Genauso folgt auch

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69)

Alternativer Beweis(Additionstheoreme)

Wir können den Satz ebenso beweisen, indem wir die rechte Seite explizit ausrechnen. Dafür nutzen wir die folgende Definition von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71): Für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74)

Seien nun Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) dann folgt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77)

Trigonometrischer Pythagoras[Bearbeiten]

Wir wollen nun eine der wichtigsten Identitäten von Sinus und Kosinus betrachten.

To-Do:

  • Einleitung schreiben
  • anschaulich die Identität erklären

To-Do:

Wie kommt man auf den beweis

Beweis(Trigonometrischer Pythagoras)

Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82), dann gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83)

Man kann den Satz ebenso beweisen, indem man Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion ausdrückt und dann die linke Seite ausrechnet:

Alternativer Beweis(Trigonometrischer Pythagoras)

Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84). Wir nutzen nun folgenden Definitionen von Sinus und Kosinus:

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86)

Nun berechnen wir

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87)

Stetigkeit[Bearbeiten]

To-Do:

Stetigkeit von Sinus und Kosinus aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgern

Definition von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89)[Bearbeiten]

Im letzten Kapitel haben wir Sinus und Kosinus sowohl anschaulich als Funktion eines Winkels definiert, als auch analytisch über eine Reihe bzw. über die Exponentialfunktion.Wie du vielleicht noch aus der Schule weißt, wird bei der ersten Definition der Winkel im Bogenmaß gemessen. Zum Beispiel hat ein rechter Winkel die Größe Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90),denn wenn man aus dem Einheitskreis einen Viertelkreis herausschneidet, hat dieser die Länge Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91). Somit ist auch anschaulich klar, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92) gilt.

Ein Grund der rein analytischen Definition von Sinus und Kosinus ist, die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion mathematisch präzise festzulegen, ohne auf die geometrische Anschauung zurückgreifen zu müssen.Daher macht es Sinn, auch die berühmte Kreiszahl Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) rein analytisch zu definieren. Die bekannte Definition von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises erweist sich nämlich in der Analysis als nicht geeignet zur strengen Beweisführung.

Die Idee ist nun, Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) einfach so zu definieren, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) gilt. Genauer gesagt wollen wir festlegen, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97) die kleinste positive Nullstelle des Kosinus sein soll (Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) ist dann das Doppelte davon). Damit diese Definition funktioniert, müssen wir aber erst beweisen, dass eine kleinste solche Nullstelle überhaupt existiert.

Satz

Die Funktion Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) besitzt eine kleinste positive Nullstelle.

Zusammenfassung des Beweises

Wir müssen zuerst zeigen, dass es überhaupt positive Nullstellen gibt. Wir wissen ja, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) gilt. Es reicht also, eine positive Stelle zu finden, an der der Kosinus einen negativen Wert annimmt, denn aufgrund der Stetigkeit wird dann nach dem Zwischenwertsatz auch der Wert Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) angenommen. Anschließend muss noch bewiesen werden, dass die Menge aller positiven Nullstellen ein Minimum hat. Dazu verwenden wir erneut die Stetigkeit.

Beweis

Es gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102), denn

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103)

Weil die Kosinusfunktion stetig ist und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104) gilt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105) mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106).

Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107) die Menge aller positiven Nullstellen des Kosinus. Wir haben gerade Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108) gezeigt. Somit existiertdas Infimum Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109). Wir wollen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) zeigen. Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) eine Folge in Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112), die gegen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) konvergiert.Dann gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114)

Hier wurde die Folgenstetigkeit von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115) angewandt. Das Infimum Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116) ist also ebenfalls eine Nullstelle des Kosinus.Aber ist es auch eine positive Nullstelle? Da Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) eine untere Schranke an Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118) ist und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) die kleinste untere Schranke ist, gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120).Doch Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121) ist unmöglich, da sonst Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) wäre. Also ist Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) und daher Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124). Folglich ist Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125)das Minimum der Menge Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126).

Jetzt können wir endlich Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) definieren.

Definition(Kreiszahl Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128))

Die Kreiszahl Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion. In Formeln:

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130)

Die Existenz dieses Minimums war gerade die Aussage des vorangegangenen Satzes. Aus dem Beweis dieses Satzes geht auch hervor, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) gilt. Wir haben also Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132).

Qualitatives Verhalten der Kosinusfunktion[Bearbeiten]

Dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, hat eine Fülle von Aussagen über die Kosinusfunktion zur Folge, die es uns erlaubt, ein vollständiges Bild vom qualitativen Verhaltender Kosinusfunktion zu bekommen. Insbesondere werden wir zeigen, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134) bijektiv und streng monoton fallend ist und dass die Funktionswerte auf ganz Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) unmittelbaraus den Funktionswerten auf Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136) hervorgehen.

Verhalten auf Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137)[Bearbeiten]

Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140), also Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141), sodass wir den Kosinus als Funktion Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) auffassen können.Wäre Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) für ein Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144), so gäbe es wegen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145) nach dem Zwischenwertsatz ein Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146) mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147),doch das steht im Widerspruch dazu, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148) die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist. Also können wir die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149)sogar als Funktion Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) auffassen. Wir zeigen nun, dass diese Einschränkung bijektiv und streng monoton fallend ist.

Satz

Die Funktion Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151) ist bijektiv und streng monoton fallend.

Beweis

An den Intervallgrenzen wissen wir schon, was passiert: Es gelten Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153). Nach dem Zwischenwertsatz werden also zwischen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) alle Werte aus Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) angenommen. Damit ist bereits die Surjektivität gezeigt. Wenn wir noch zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, sind wir fertig, denn daraus folgt insbesondere die Injektivität.Seien also Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158). Wir wollen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159) zeigen. Wir führen die Zahlen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161) ein.Dann sind nämlich Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162) und wir haben Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) sowie Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) (damit ist Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165)). Mithilfe der Additionstheoreme berechnen wir nun

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166)

Falls Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) beide positiv oder beide negativ sind, folgt wie gewünscht Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169).Andernfalls gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170) oder Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172) mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173).Damit ist

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174)

Weil aber Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175) die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion, sprich die einzige Nullstelle im Bereich Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) ist, muss Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177) gelten.Wegen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178) ist demnach Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179). Daraus folgt jedoch Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180) im Widerspruch zu Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181).

Fortsetzung auf Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182)[Bearbeiten]

Wir stellen zunächst fest, dass sich aus Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) folgender Zusammenhang ergibt, den man als eine Punktsymmetrie der Kosinusfunktion um die Stelle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) beschreiben könnte.

Beweis

Es gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187)

Daraus folgt die Behauptung.

Indem wir Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188) in diesem Satz wählen, erkennen wir, dass die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189)eine Funktion Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190) darstellt, die erneut bijektiv und streng monoton fallend ist.

Insgesamt ergibt sich also:

Satz

Die Funktion Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194) ist bijektiv und streng monoton fallend.

Dieser Satz wird bei der Definition des Arkuskosinus eine wichtige Rolle spielen.

Fortsetzung auf Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195)[Bearbeiten]

Im Weiteren wird sich eine andere Formulierung des obigen Zusammenhangs als nützlich erweisen.

Satz

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196) gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197)

Beweis

Wir schreiben in obigem Satz Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198) anstelle von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199) und erhalten

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200)

Zusammen mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201) folgt die Behauptung.

Indem wir nun Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202) wählen, sehen wir, dass auf dem Intervall Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203) die entsprechenden Werte auf dem Intervall Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204) lediglich gespiegelt werden.

Die Einschränkungen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209) sind also jeweils bijektiv und streng monoton steigend.

Fortsetzung auf Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210)[Bearbeiten]

Es stellt sich nun heraus, dass die Kosinusfunktion periodisch ist:

Satz

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (211) gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212)

Beweis

Wir wenden den vorherigen Satz zweimal an und erhalten

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213)

Auf den Intervallen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214) verhält sich der Kosinus also jeweils exakt so, wie wir es bereits für das Intervall Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215) untersucht haben.

Mit anderen Worten:

Satz

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218) ist

  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219) bijektiv und streng monoton fallend,
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220) bijektiv und streng monoton fallend,
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221) bijektiv und streng monoton steigend,
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222) bijektiv und streng monoton steigend.

Die folgende Grafik veranschaulicht noch einmal, wie sich alle Funktionswerte des Kosinus auf die Werte im Intervall Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223) zurückführen lassen.

Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten]

Der vorangegangene Satz erlaubt es uns zu bestimmen, wo die Nullstellen, Maxima und Minima liegen, also die Funktionswerte Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (226), Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (227) und Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (228) angenommen werden.

Satz

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (229) gilt

  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (230)
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231)
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (232)

To-Do:

Bild, Beweis

Periodizität[Bearbeiten]

Wir haben bereits gezeigt, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (234) für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (235) gilt. Wir beweisen jetzt, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (236) die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Daher macht es Sinn, den Kosinus als Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (237)-periodische Funktion zu bezeichnen.

Satz

Sei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (238) mit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (239) für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (240). Dann gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (241) für ein Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (242).

Beweis

Wir setzen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (243) und erhalten Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (244). Somit gilt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (245) für ein Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (246). Wegen Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (247) ist Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (248).

Alle möglichen Periodenlängen sind also Vielfache von Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (249), womit Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (250) die kleinste Periodenlänge ist.

Qualitatives Verhalten der Sinusfunktion[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden wir erkennen, dass die Sinusfunktion lediglich eine Verschiebung der Kosinusfunktion ist. Auf diese Weise lassen sich alle Eigenschaften der Kosinusfunktion aus dem vorherigen Abschnitt leichtauf die Sinusfunktion übertragen.

Funktionswert bei Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (251)[Bearbeiten]

Wir überlegen uns zunächst, was Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (252) ist. Da Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (253) gilt, folgt aus dem trigonometrischen Pythagoras sofort Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (254).Es gilt also entweder Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (255) oder Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (256). Um Letzteres auszuschließen, treffen wir für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (257) folgende Abschätzung:

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (258)

Wir wissen ja, dass Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (259) gilt. Somit ist Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (260) und es folgt Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (261).

Zusammenhang zur Kosinusfunktion[Bearbeiten]

Satz

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (262) gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (263)

Beweis

Nach dem Additionstheorem gilt

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (264)

Der Graph der Sinusfunktion (rot) entsteht also aus dem Graphen durch Kosinusfunktion (blau) durch eine Verschiebung um Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (265) nach rechts.

Verhalten auf Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (267)[Bearbeiten]

Da der Sinus nur ein verschobener Kosinus ist, können wir das qualitative Verhalten der Sinusfunktion auf ganz Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (268) leicht bestimmen.

Satz

Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinstmöglicher Periodenlänge Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (269) und für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (270) ist

  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (271) bijektiv und streng monoton steigend,
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (272) bijektiv und streng monoton fallend,
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (273) bijektiv und streng monoton fallend,
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (274) bijektiv und streng monoton steigend.

To-Do:

Bild

Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten]

Ebenso leicht lässt sich die Bestimmung von Nullstellen, Maxima und Minima auf die Sinusfunktion übertragen, denn deren Lage verschiebt sich lediglich um Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (276) nach rechts.

Satz

Für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (277) gilt

  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (278)
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (279)
  • Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (280)

To-Do:

Bild

Ableitung und Integral[Bearbeiten]

Ableitung Sinus[Bearbeiten]

Satz(Ableitung vom Sinus)

Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (282) gilt:

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (283)

Beweis(Ableitung vom Sinus)

Für Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (284) ist

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (285)

Ableitung Kosinus[Bearbeiten]

Satz(Ableitung des Kosinus)

Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (286)

Beweis(Ableitung des Kosinus)

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (287)

Arkussinus und Arkuskosinus →

Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (288)

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Author: Greg O'Connell

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